شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | ویژگی های تجانس](https://dl2.my-dars.com/upload/image/09 (1)1743945408.jpg)
ثابت کنید تجانس شیب خط را حفظ می کند.
تجانس D به مرکز O و نسبت \(k > 0\) و خط AB را در 2 حالت در نظر می گیریم.
الف)
نقطه O روی AB باشد. در این صورت اگر \(A'\) و \(B'\) مجانس های A و B باشند روی خط AB قرار می گیرند، لذا \(A'B'\) روی AB واقع است و شیب خط تغییری نمی کند.
ب)
فقط O روی AB نباشد.
در این صورت اگر \(A'\) و \(B'\) مجانس های A و B باشند، طبق تعریف تجانس داریم:
\(\begin{array}{l}OA' = k.OA\\\\OB' = k.OB\\\\ \Rightarrow \frac{{OA'}}{{OA}} = \frac{{OB'}}{{OB}} = k \Rightarrow AB\parallel A'B'\end{array}\)
ثابت کنید تجانس اندازه زاویه را حفظ می کند.
می دانیم تجانس شیب خط را حفظ می کند لذا خط و تصویر تجانس موازی اند.
\(\begin{array}{l}AB\parallel A'B' \Rightarrow {{\hat B}_1} = {{\hat B'}_1}\\\\BC\parallel B'C' \Rightarrow {{\hat B}_2} = {{\hat B'}_2}\\\\ \Rightarrow {{\hat B}_1} + {{\hat B}_2} = {{\hat B'}_1} + {{\hat B'}_2} \Rightarrow \hat B = \hat B'\end{array}\)
در تجانس به مرکز O و نسبت k طول پاره خط، k برابر می شود یعنی:
\(A'B' = k.AB\)
بنابراین محیط با ضریب k تغییر می کند:
\(P' = kP\)
مساحت با ضریب \({k^2}\) تغییر می کند:
\(S' = {k^2}.S\)
در واقع برقراری خواص بالا به این دلیل است که تصویر هر شکل در یک تجانس با خود شکل متشابه است.
دو شکل متشابه الزاما متجانس نیستند، مگر اینکه اضلاع آنها، نظیر به نظیر موازی باشند.
1 اگر \(A\left( {1,3} \right)\) ، \(B\left( {3,3} \right)\) و \(C\left( {3,0} \right)\) رئوس یک مثلث باشند، مثلث و تصویر مجانس آن را تحت تجانس مرکز \(O\left( {0,0} \right)\) و نسبت \(k = 2\) رسم کنید. طول پاره خط ها و محیط ها و مساحت ها را باهم مقایسه کنید.
\(\begin{array}{l}A\left( {1,3} \right) \Rightarrow A'\left( {2,6} \right)\\\\B\left( {3,3} \right) \Rightarrow B'\left( {6,6} \right)\\\\C\left( {3,0} \right) \Rightarrow C'\left( {6,0} \right)\end{array}\)
\(\begin{array}{l}AB = 2\\\\BC = 3\\\\ \Rightarrow AC = \sqrt {13} \\\\A'B' = 4\\\\B'C' = 6\\\\ \Rightarrow A'C' = 2\sqrt {13} \\\\{P_{A\mathop B\limits^\Delta C}} = 2 + 3 + \sqrt {13} = 5\sqrt {13} \\\\{P_{A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'}} = 4 + 6 + 2\sqrt {13} = 2\left( {5 + \sqrt {13} } \right)\\\\ \Rightarrow P' = 2P\\\\{S_{A\mathop B\limits^\Delta C}} = \frac{1}{2}\left( {3 \times 2} \right) = 3\\\\{S_{A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'}} = \frac{1}{2}\left( {6 \times 4} \right) = 12 = {2^2} \times 3\\\\ \Rightarrow S' = {2^2} \times S\end{array}\)
2 اگر n ضلعی \({A'_1}{A'_2} \cdots {A'_n}\) مجانس n ضلعی \({A_1}{A_2} \cdots {A_n}\) به مرکز O و به نسبت k باشد نشان دهید، این دو n ضلعی باهم متشابه اند.
\(\begin{array}{l}O{{A'}_1} = k.O{A_1}\\\\O{{A'}_2} = k.O{A_2}\\ \vdots \\O{{A'}_n} = k.O{A_n}\\\\ \Rightarrow \frac{{O{{A'}_1}}}{{O{A_1}}} = \frac{{O{{A'}_2}}}{{O{A_2}}} = \cdots = \frac{{O{{A'}_n}}}{{O{A_n}}} = k\end{array}\)
بنابراین همه اضلاع نظیر به نظیر متناسب اند و لذا طبق تعریف تشابه، این دو شکل متشابه اند.
تهیه کننده: امیرحسین مطلبی
1736019749.png)
